Question

已知函數f(x)=|3-

1

x

|，x∈(0，+∞)．
（1）寫出f（x）的單調區間；
（2）是否存在實數a，b（0＜a＜b）使函數y=f（x）定義域值域均為[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將原含有絕對值的函數化成分段函數的形式，再畫出其圖象，觀察圖象可得f（x）的單調區間；
（2）可假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發探究a，b的可能取值，可分三類：當a≥

1

3

時，當0＜a＜

1

3

＜b時，當b≤

1

3

時，分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實數，則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：（1）易知   f(x)=

3- 1 x ，x＞ 1 3 1 x -3，0＜x≤ 1 3

即單調減區間為(0，

1

3

)；單調增區間為(

1

3

，+∞)

（2）因為f(x)=|3-

1

x

|的定義域與值域均為[a，b]
①當a≥

1

3

時，f（x）在區間[a，b]上遞增
所以

f(a)=a f(b)=b

⇒

1 3 -a=a 1 3 -b=b

⇒

a= 3- 5 2 b= 3+ 5 2

；
②當0＜a＜

1

3

＜b時，f（x）在[a，

1

3

)遞減，在[

1

3

，b]上遞增
值域為[a，b]，即a=0，與題矛盾；
③當b≤

1

3

時，f（x）在[a，b]上遞減
所以

f(a)=b f(b)=a

⇒

1 a -3=b 1 b -3=a

⇒不合題意
綜上所述，a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

．

點評：本題的考點是函數與方程的綜合應用，考察了絕對值函數，函數的定義域、值域，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，本題考察了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，本題易因為考慮不完善出錯．