Question

已知函數f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1(ω＞0，x∈R)，且函數f（x）的最小正周期為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數f（x）昀圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數了y=g（x）的圖象，求函數y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過兩角和與差的余弦公式化簡，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，通過函數的周期，求出ω，然后求出函數的解析式；
（Ⅱ）由第一問確定的f（x）解析式，根據平移規律“左加右減”表示出g（x），利用x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質即可求出g（x）的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1
=

3

sinωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∴函數f（x）的最小正周期為

2π

ω

=π；
∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（Ⅱ）依題意，將函數f（x）昀圖象向右平移

π

6

個單位，
得到函數g（x）=2sin（2x-

π

3

+

π

6

）-1=2sin（2x-

π

6

）-1的圖象，
函數g（x）的解析式g（x）=2sin（2x-

π

6

）-1．
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）-1≤1
函數y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域為[-2，1]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數的平移規律，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．