Question

設a＞b＞0，k＞0且k≠1，則 橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1和 橢圓C2：

x2

a2

+

y2

b2

=k具有相同的（　　）

A．頂點

B．焦點

C．離心率

D．長軸和短軸

Answer 1

分析：由橢圓基本量的平方關系和離心率公式，可算出橢圓C₁與橢圓C₂的離心率都等于

a2-b2

a

，而它們的頂點、焦點、和長短軸不一定相同．由此可得本題答案．

解答：解：∵橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1中，長半軸為a，短半軸為b，
∴橢圓C₁的半焦距c=

a2-b2

，可得橢圓C₁的離心率e₁=

c

a

=

a2-b2

a

；
將橢圓C2：

x2

a2

+

y2

b2

=k化成標準形式，得C2：

x2

a2k

+

y2

b2k

=1，
∴k＞0，得橢圓C₂的離心率e₂=

a2k-b2k

a k

=

a2-b2

a

．
因此e₁=e₂，即橢圓C₁與橢圓C₂的離心率相同．
當a、b保持不變時橢圓C₁的頂點、焦點、長軸和短軸保持不變，
而隨著k的變化橢圓C₂的頂點、焦點、長軸和短軸都在變化．
因此，兩個橢圓不一定有相同的頂點、焦點、和長短軸．
故選：C

點評：本題給出兩個形狀相同的橢圓，尋找它們的共同性質．著重考查了橢圓的定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．