Question

已知函數在點處的切線方程是x+ y－l=0，其中e為自然對數的底數，函數g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），對一切x∈（0,+）均有恒成立．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義求、，利用導數導數法判斷單調性，用函數的最值積恒成立求；（Ⅱ）構造新函數，利用導數法求的最小值，利用結合（Ⅰ）中的結論進行證明.

試題解析：（Ⅰ）,,,

,.                                   (2分)

,由于,

 所以當時,是增函數,

 當時,是減函數,

 ,

由恒成立，，即恒成立，①      （4分）

令，則，

在上是增函數，上是減函數，

，即，當且僅當時等號成立 .

，

 由①②可知，，所以.            (6分)

（Ⅱ）證法一:所求證不等式即為.

設,,

當時,是減函數,

當時,是減函數,

,即.              (8分)

由（Ⅰ）中結論②可知,,,當時,,

從而                    (10分)

.

(或者也可)

即,原不等式成立.                            (12分)

考點：導數法判斷函數的單調性，恒成立，不等式的證明.