Question

（2012•浙江模擬）定義：過雙曲線焦點的直線與雙曲線交于A、B兩點，則線段AB成為該雙曲線的焦點弦．已知雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1，那么過改雙曲線的左焦點，長度為整數且不超過2012的焦點弦條數是（　　）

A．4005

B．4018

C．8023

D．8036

Answer 1

分析：雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1中，左焦點F₁（-

34

，0）．雙曲線過左焦點的焦點弦可以分為兩類：第一類，端點均在左支上，最短的為通徑，第二類，端點分別在兩支，最短為實軸．由此入手能夠求出結果．

解答：解：雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1中，a²=25，b²=9，c²=34，
左焦點F₁（-

34

，0）
雙曲線過左焦點的焦點弦可以分為兩類：
第一類，端點均在左支上，最短的為通徑，
將x=-

34

代入橢圓方程，得
y²=

81

25

，|y|=

9

5

，∴通徑長為2|y|=

18

5

=3.6，
∵長度為整數且不超過2012，
∴符合條件的焦點弦長為4，5，6，…，2012，
根據對稱性每個弦長對應2條弦，共2×（2012-3）=4018．
第二類，端點分別在兩支，最短為實軸，
2a=10，符合題意的弦長：10，11，12，…，2012，
弦長為10的只有1條，其它的對應2條，
∴滿足條件的弦共有：1+2（2012-10）=4005，
兩類合計共4018+4005=8023條．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的性質及其應用，具體涉及到雙曲線的簡單性質，雙曲線和直線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．