Question

(12分)在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點.
（Ⅰ）求證：命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（Ⅱ）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

（1）見解析
（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.

解析試題分析：(I)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x后利用韋達定理判斷=x₁x₂+y₁y₂=的值是否為3，從而確定此命題是否為真命題.
(II)根據(jù)四種命題之間的關系寫出該命題的逆命題，然后再利用直線與拋物線的位置關系知識來判斷其真假.
證明：（1）解法一：設過點T(3,0)的直線l交拋物線y²=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).
當直線l的鈄率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于
A(3,)、B(3,－)，∴=3.
當直線l的鈄率存在時,設直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.
得ky²－2y－6k=0,則y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 
∴=x₁x₂+y₁y₂=="3." 綜上所述, 命題“......”是真命題.
解法二：設直線l的方程為my=x－3與y²="2x" 聯(lián)立得到y(tǒng)²-2my-6=0   =x₁x₂+y₁y₂
=(my₁+3) (my₂+3)+ y₁y₂=(m²+1) y₁y₂+3m(y₁+y₂)+9=(m²+1)× (-6)+3m×2m+9＝3
（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.  例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,
直線AB的方程為y= (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.
考點：四種命題之間的關系，直線與拋物線的位置關系，向量的數(shù)量積.
點評：本小題本質(zhì)是以四種命題的關系為知識載體主要考查直線與拋物線的位置關系.由拋物線y²=2x上的點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)滿足,可得y₁y₂=－6.或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y₁y₂="2," 可證得直線AB過點(－1,0),而不過點(3,0).