Question

若函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.
（Ⅰ）判斷下列函數：①；②；③中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（Ⅱ）判斷函數是否為等比源函數，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：，函數都是等比源函數.

Answer 1

（Ⅰ）①②③（Ⅱ）不是等比源函數（Ⅲ）略

解析試題分析：（Ⅰ）①是等比源函數，例：當時，；當時，；當時，。1、4、16成等比。②是等比源函數，例：當時，；當時，；當時，。成等比。③是等比源函數，例：當時，；當時，；當時，。1、2、4成等比數列。（Ⅱ）假設函數是等比源函數，即存在正整數且，使得成等比數列，根據等比中項列出式子，再推理論證得出矛盾。（Ⅲ）根據可推導出為首項為正整數公差也為正整數的等差數列。假設（）整理得當時說明假設成立，即函數值中存在三個不同的數構成等比數列。
試題解析：（Ⅰ）①②③都是等比源函數.                       3分
（Ⅱ）函數不是等比源函數.                         4分
證明如下：
假設存在正整數且，使得成等比數列，
，整理得，       5分
等式兩邊同除以得.
因為，所以等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，
所以等式不可能成立，
所以假設不成立，說明函數不是等比源函數.        8分
（Ⅲ）法1：
因為，都有，
所以，數列都是以為首項公差為的等差數列.
，成等比數列，
因為，
，
所以，
所以，函數都是等比源函數.             13分
（Ⅲ）法2：
因為，都有，
所以，數列都是以為首項公差為的等差數列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，則，
所以