Question

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構成等差數列．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖7，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為．(2)以四邊形的面積的最大值為。

【解析】

試題分析：（1）依題意，設橢圓的方程為．

構成等差數列，

， ．

又，．

橢圓的方程為．  4分 

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得．              5分

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，

化簡得：．                        7分

設，，    9分

（法一）當時，設直線的傾斜角為，

則，

，       

， 11分

，當時，，，．

當時，四邊形是矩形，．   13分

所以四邊形面積的最大值為．    14分

（法二），

．

．

四邊形的面積， 11分 

．   13分

當且僅當時，，故．

所以四邊形的面積的最大值為．     14分

考點：本題主要考查等差數列，橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，面積計算。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。解題過程中，運用等差數列的基礎知識求得了a,b,c的關系。