Question

某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出144件. 如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比.
已知商品單價降低2元時，一星期多賣出8件．
（1）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

（1）（2）見解析

解析試題分析：（1）先設商品降價x元，寫出多賣的商品數，則可計算出商品在一個星期的獲利數，再依題意：“商品單價降低2元時，一星期多賣出24件”求出比例系數即可得一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；
（2）根據（1）中得到的函數，利用導數研究其極值，從而救是f（x）達到極大值．從而得出所以定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．
試題解析：解：（1）設商品降價元，則每個星期多賣的商品數為，若記商品在一個星期的獲利為，則依題意有，   3分
又由已知條件，，于是有，                      5分
所以             6分
（2）由（1）得          7分
當變化時，與的變化如下表：

		2		12
	↘	極小	↗	極大	↘

   10分
故時，達到極大值．因為，，
所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大．      13分
考點：函數模型的選擇與應用．