Question

（本小題滿分14分）已知函數同時滿足如下三個條件：①定義域為；②是偶函數；③時，，其中.
（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函數的最大值；
（Ⅱ）當，時，函數，若的圖象恒在直線上方，求實數的取值范圍（其中為自然對數的底數， ）.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）的圖象恒在直線y=e上方

本試題主要是考查了函數定義域和奇偶性的判定以及奇偶性的運用和解析式的求解，以及圖像與圖像的位置關系的運用。
（1）因為函數同時滿足如下三個條件：①定義域為；②是偶函數；③時，，其中.
故可以得到在上的解析式，并求出函數的最大值；
（2）當，時，函數，若的圖象恒在直線上方，即成立即可。
解：（Ⅰ）任取， 
又f(x)是偶函數，故…………2分
由f(x)是定義域為的偶函數可知，f(x)在的最大值即可為f(x)的最大值.
當

          …………5分
綜上可知： 
…………6分
另解：
由f(x)是定義域為的偶函數可知，f(x)在的最大值即可為f(x)的最大值.
當
當
此時…
當
①當
此時 
②當


③
此時…………7分
綜上可知：
（2）
==…9分
要函數的圖象恒在直線y=e上方，
即成立，…………10分
，令=0，解得
①當
此時…………11分
②當
此時,
故時可滿足題意；…………12分
③
此時…13分
綜上可知：的圖象恒在直線y=e上方，…………14分