Question

如圖：兩點分別在射線上移動，
且,為坐標(biāo)原點，動點滿足

（1）求點的軌跡的方程;
（2）設(shè)，過作（1）中曲線的兩條切線，切點分別
為，①求證:直線過定點;
②若,求的值。

Answer 1

（1）；（2）②.

解析試題分析：（1） 設(shè)動點的坐標(biāo)為，由
另由
于是由此可消去上參數(shù)方程中的參數(shù)而得點的軌跡方程.
（2）①設(shè)，先用導(dǎo)數(shù)求出雙曲線在處的切線，利用兩切線均過點得到直線的方程并進(jìn)一步證明其過定點.
②由①可知，設(shè)直線的方程為，易知且，
所以可利用方程組消去得，再結(jié)合韋達(dá)定理解決.
解：（1）由已知得，，即
設(shè)坐標(biāo)為，由得：
∴，消去可得，
∴軌跡的方程為：                          4分
（2）①由（1）知，即
設(shè)，則，
∴，即，
∵在直線上，∴  ⑴同理可得，     ⑵
由⑴⑵可知， ∴直線過定點                9分
②由①可知，設(shè)直線的方程為，易知且，將直線的方程代入曲線C的方程得：
∴
又
 即   ∴                      13分
考點：1、動點軌跡方程的求法；2、平面向量的數(shù)量積；3、直線與圓錐曲線的綜合問題.