Question

已知，n∈N_＋，A_n＝2n²，B_n＝3ⁿ，試比較A_n與B_n的大小，
并加以證明．

Answer 1

n∈N_＋時，A_n<B_n成立

當n＝1時：A₁＝2，B₁＝3，有A₁<B₁；
當n＝2時：A₂＝8，B₂＝9，有A₂<B₂；
當n＝3時：A₃＝18，B₃＝27，有A₃<B₃.
由上可歸納出當n∈N_＋時，都有A_n<B_n.
下面用數(shù)學歸納法證明(下面只證n≥2時成立)：
(1)當n＝2時，由上可知不等式成立．
(2)假設n＝k(k∈N_＋，且k≥1)時不等式成立，即2k²<3^k，
則3^k＋1＝3×3^k＝3^k＋3^k＋3^k>2k²＋2k²＋2k².
由于2k²≥4k (k≥2)，2k²>2，
所以3^k＋1>2k²＋2k²＋2k²>2k²＋4k＋2＝2(k＋1)²，
這表明，當n＝k＋1時，不等式也成立．
綜合(1)、(2)可知，n∈N_＋，n≥2時，都有A_n<B_n成立．
綜上可知n∈N_＋時，A_n<B_n成立．