Question

已知，是函數的兩個零點，其中常數，，設．
（Ⅰ）用，表示，；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：對任意的．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析，（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由題意得：，．因為，所以．.對抽象的求和符號具體化處理,是解答本題的關鍵.（Ⅱ）而
，（Ⅲ）用數學歸納法證明有關自然數的命題. （1）當時，由（Ⅰ）問知是整數，結論成立．（2）假設當（）時結論成立，即都是整數，由（Ⅱ）問知．即時，結論也成立．
解：（Ⅰ）由，．
因為，所以．
．     3分
（Ⅱ）由，得
．
即，同理，．
所以．
所以．     8分
（Ⅲ）用數學歸納法證明．
（1）當時，由（Ⅰ）問知是整數，結論成立．
（2）假設當（）時結論成立，即都是整數．
由，得．
即．
所以，．
所以．
即．
由都是整數，且，，所以也是整數．
即時，結論也成立．
由（1）（2）可知，對于一切，的值都是整數．      13分