Question

各項均為正數的數列對一切均滿足．證明：
（1）；
（2）．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

試題分析：（1）作差證明不等式，因為，，所以，且．
因此．即.（2）本題證明：用數學歸納法，而證明用反證法. ① 當時，由題設可知成立；② 假設時，，
當時，由（1）得，．由①，②可得，．假設存在自然數，使得，則一定存在自然數，使得．因為，，， ，，與題設矛盾，所以，．若，則，根據上述證明可知存在矛盾．
【證明】（1）因為，，與題設矛盾，所以，．若，則，根據上述證明可知存在矛盾．
所以，
所以，且．
因為．
所以，
所以，即．                          4分
（注：用反證法證明參照給分）
（2）下面用數學歸納法證明：．
① 當時，由題設可知結論成立；
② 假設時，，
當時，由（1）得，．
由①，②可得，．                               7分
下面先證明．
假設存在自然數，使得，則一定存在自然數，使得．
因為，，
， ，，
與題設矛盾，所以，．          
若，則，根據上述證明可知存在矛盾．
所以成立．                                          10分