Question

若有窮數列{a_n}滿足：（1）首項a₁=1，末項a_m=k，（2）a_n+1= a_n+1或a_n+1=2a_n ，（n=1，2，…，m-1），則稱數列{a_n}為k的m階數列．

（Ⅰ）請寫出一個10的6階數列；

（Ⅱ）設數列{b_n}是各項為自然數的遞增數列，若，且，求m的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．          ………………2分

（Ⅱ）由已知在數列{a_n}中 a_n+1= a_n+1或a_n+1=2a_n，

當為偶數時，，或．

因為 ，

所以在數列{a_n}中 中i的個數不多于中j的個數，

要使項數m最小，只需 ．                     ……………………5分

當a_m為奇數時，必然有 ，是偶數，可繼續重復上面的操作．

所以要使項數m最小，只需遇到偶數除以2，遇到奇數則減1．

因為，且，

只需除以次2，得到為奇數；

減1，得到為偶數，

再除以次2，得到；

再減1，得到為偶數，

…………，

最后得到為偶數，除以次2，得到1，即為．

所以=．  ……………………13分

（若用其他方法解題，請酌情給分）