Question

如圖，已知點A（2，0），B（1，0），點D，E同時從點B出發沿單位圓O逆時針運動，且點E的角速度是點D的角速度的2倍．設∠BOD=θ，0≤θ＜2π
（Ⅰ）當∠BOD=

π

6

，求四邊形ODAE的面積；
（Ⅱ）將D、E兩點間的距離用f（θ）表示，并求f（θ）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_ODAE=S_△OAE-S_△OAD，關鍵分別求出相應三角形的面積；（Ⅱ）由條件點D，E都從點B同時出發沿單位圓O逆時針運動，且點E的角速度是點D的角速度的2倍，用坐標表示點，從而表達出f（θ）表示，再求f（θ）的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）當∠BOD=

π

6

時，∠BOE=

π

3

即D(

1

2

，

3

2

)，E(

3

2

，

1

2

)SODAE=S△OAE-S△OAD=

1

2

×2×

3

2

-

1

2

×2×

1

2

=

3 -1

2

；
（Ⅱ）∵點D，E都從點B同時出發沿單位圓O逆時針運動，且點E的角速度是點D的角速度的2倍．
∴∠BOE=2∠BOD，∠BOD=θ，∠BOE=2θ，0≤θ＜2π
由三角函數的定義可知，點D（cosθ，sinθ），E（cos2θ，sin2θ）
f(θ)=

(cos2θ-cosθ)2+(sin2θ-sinθ)2

=

2-2(cos2θcosθ+sin2θsinθ)

=

2(1-cosθ)

=2|sin

θ

2

|
∵0≤θ＜2π，∴0≤

θ

2

＜π，sin

θ

2

≥0，∴f(θ)=2sin

θ

2

由0≤

θ

2

≤

π

2

得：0≤θ≤π，由

π

2

＜

θ

2

＜π得：π＜θ＜2π
∴f（θ）的單調遞增區間是[0，π]，單調遞減區間是（π，2π）．

點評：本題主要考查再實際問題中建立三角函數模型，考查三角函數的定義及化簡，有一定的綜合性．