Question

如圖，已知點A（-2，0），點P是⊙B：（x-2）²+y²=36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知⊙O：x²+y²=r²（r＞0）的切線l總與曲線C有兩個交點M、N，并且其中一條切線滿足∠MON＞90°，求證：對于任意一條切線l總有∠MON＞90°．

Answer 1

分析：（ I）由題意，|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=6，所以Q點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，故可求曲線C的軌跡方程；
（ II）先考慮切線的斜率存在的情形．設切線l：y=kx+m，利用l與⊙O相切，建立方程，再由

y=kx+m x2 9 + y2 5 =1

，消去y，借助于韋達定理，證明

OM

•

ON

=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

＜0即可，再考慮兩種特殊情況：（1）當滿足∠MON＞90°的那條切線斜率不存在時，切線方程為x=±r，（2）當滿足∠MON＞90°的那條切線斜率存在時，故結論可證．

解答：（ I）解：由題意，|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=6，
∴Q點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且a=3，c=2，
∴曲線C的軌跡方程是

x2

9

+

y2

5

=1．（5分）
（ II）證明：先考慮切線的斜率存在的情形．設切線l：y=kx+m，則     
由l與⊙O相切得

|m|

1+k2

=r即m²=r²（1+k²）①（7分）
由

y=kx+m x2 9 + y2 5 =1

，消去y得，（5+9k²）x²+18kmx+9（m²-5）=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由韋達定理得x1+x2=-

18km

5+9k2

，x1x2=

9(m2-5)

5+9k2

（9分）

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=

9(1+k2)(m2-5)

5+9k2

-

18k2m2

5+9k2

+m2=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

②（10分）
由于其中一條切線滿足∠MON＞90°，對此

OM

•

ON

=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

＜0
結合①式m²=r²（1+k²）可得r2＞

45

14

（12分）
于是，對于任意一條切線l，總有m2＞

45

14

(1+k2)，進而

OM

•

ON

=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

＜0
故總有∠MON＞90°．（14分）
最后考慮兩種特殊情況：
（1）當滿足∠MON＞90°的那條切線斜率不存在時，切線方程為x=±r．代入橢圓方程可得交點的縱坐標y=±

5- 5r2 9

，
因∠MON＞90°，故r＜

5- 5r2 9

，得到r2＞

45

14

，同上可得：任意一條切線l均滿足∠MON＞90°；
（2）當滿足∠MON＞90°的那條切線斜率存在時，r2＞

45

14

，r＜

5- 5r2 9

，對于斜率不存在的切線x=±r也有∠MON＞90°．
綜上所述，命題成立．（15分）

點評：本題考查曲線軌跡的求解，考查橢圓的標準方程，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，需要一定的基本功．