Question

本小題滿分12分）設M是由滿足下列條件的函數f (x)構成的集合：①方程f (x)一x=0有實根；②函數的導數滿足0＜＜1.
(1)若函數f(x)為集合M中的任意一個元素，證明：方程f(x)一x=0只有一個實根；
（2）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
(3)設函數f(x)為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，
證明：

Answer 1

(1)令，則，故是單調遞減函數,
所以，方程，即至多有一解，又由題設①知方程有實數根，所以，方程有且只有一個實數根；(2)；(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調遞增，∴,即，
令，則，故是單調遞減函數，
∴,即，
∴，則有

試題分析：令，則，故是單調遞減函數,
所以，方程，即至多有一解，
又由題設①知方程有實數根，
所以，方程有且只有一個實數根…………………………………..4分
(2)易知，，滿足條件②；
令，
則，…………………………………..7分
又在區間上連續，所以在上存在零點，
即方程有實數根，故滿足條件①，
綜上可知，……………………………………8分
(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調遞增，
∴,即，
令，則，故是單調遞減函數，
∴,即，
∴，則有….……………..….12分
點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合.