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設△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A、B∈(0，
π
2
)，若b=a•cos（A+B）．
（1）求證：tanB=
tanA
2tan2A+1
；
（2）當tanB取最大值時，求cotC的值．
分析：（1）根據正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
，利用兩角和的余弦函數公式及誘導公式化簡b=a•cos（A+B）得到即可；
（2）把tanB變形，利用基本不等式求出最大值時tanA的值，然后利用兩角和的正切公式求出tan（A+B），利用誘導公式得到tanC即可得到cotC．
解答：解：（1）由正弦定理，sinB=sinA•（cosAcosB-sinAsinB）=sinA•cosA•cosB-sin2AsinB?（1+sin2A）sinB=sinA•cosAcosB?tanB=
sinA•cosA
1+sin2A
=
sinAcosA
2sin2A+cos2A
=
tanA
2tan2A+1

（2）tanB=
1
2tanA+
1
tanA
≤
1
2
2
(∵A∈(0，
π
2
))
當且僅當2tanA=
1
tanA
即tanA=
2
2
時，tanB的最大值
2
4

此時，tan(A+B)=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
2
2
+
2
4
1-
2
2
•
2
4
=
2

∵tan(A+B)=-tanC?tanC=-
2

∴cotC=-
2
2
．
點評：考查學生靈活運用正弦定理解決數學問題，靈活運用兩角和與差的正切、余弦函數公式，會進行三角恒等式的證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•河東區一模）已知函數f（x）=sinx+cos（x-
π
6
），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）設△ABC中，角A、B的對邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-
π
6
），求角C的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sinx+cos（x-
π
6
），x∈R．
（I）求f（x）的單調增區間及f（x）圖象的對稱軸方程；
（II）設△ABC中，角A、B的對邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-
π
6
），求角C的大小．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省深圳市高三下學期第二次調研考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數

（1）求f（x）的最大值；

（2）設△ABC中，角A、B的對邊分別為a、b，若B＝2A，且，

求角C的大小．

 

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科目：高中數學 來源：江西師大附中2010屆高三第三次模擬考試數學（理） 題型：解答題

設△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，若．

   （1）求證：；

   （2）當取最大值時，求的值．

 

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