Question

已知函數在處取得極值.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）設是曲線上除原點外的任意一點,過的中點且垂直于軸的直線交曲線于點,試問：是否存在這樣的點,使得曲線在點處的切線與平行？若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由；
（Ⅲ）設函數,若對于任意,總存在,使得,求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，坐標為；（Ⅲ）的取值范圍是.

試題分析：（Ⅰ）由題意知，解出；（Ⅱ）先假設存在這樣的點并設出點的坐標，然后根據斜率相等列出等式，解得即可；（Ⅲ）有3中解法，1的基本思路是：先利用導數求得的最小值，然后說明在上的最小值不能大于的最小值，根據這一條件求得的范圍；2的基本思路是：先利用導數求得的最小值-2，要使總存在,使得成立，說明在上有解，利用二次函數知識解答；3的基本思路和2有相似地方，只是在說明在上有解時，不是利用二次函數知識，而是利用換元和分離參數法解答.
試題解析：⑴∵,∴.又在處取得極值.
∴,即,解得,,經檢驗滿足題意,∴. 
⑵由⑴知.假設存在滿足條件的點,且,則,
又.則由,得,∴,∵,
∴,得.故存在滿足條件的點
此時點的坐標為或.
⑶解法： ,令,得或.
當變化時,、的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

∴在處取得極小值,在處取得極大值.
又時,,∴的最小值為.     
∵對于任意的,總存在,使得,
∴當時,最小值不大于.又.
∴當 時,的最小值為,由,得；
當時,最小值為,由,得；
當時,的最小值為.由,即,解得或.又,∴此時不存在.
綜上,的取值范圍是.
解法：同解法得的最小值為.
∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即在上有解.設,則
得, 或,得或.
∴或時,在上有解
故的取值范圍是.
解法：同解法得的最小值為.  
∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即在上有解.令,則,∴.
∴當時,；當時,得,不成立,∴不存在；
當時,.令,∵時,,∴在
上為減函數,∴,∴.
綜上,的取值范圍是.