Question

定義在上的函數對任意都有（為常數）.
（1）判斷為何值時為奇函數，并證明；
（2）設，是上的增函數，且，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查抽象函數奇偶性的判斷和利用函數單調性解不等式.考查學生的分析問題解決問題的能力.考查轉化思想和分類討論思想.第一問，用賦值法證明函數的奇偶性；第二問，利用單調性解不等式，轉化成恒成立問題，再利用二次函數的性質求的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）若在上為奇函數，則，    1分
令,則，∴.      2分
證明：由，令，則，
又，則有.即對任意成立，所以是奇函數.
6分
（Ⅱ）      7分
∴對任意恒成立．
又是上的增函數，∴對任意恒成立，      9分
即對任意恒成立，
當時顯然成立；
當時，由得．
所以實數m的取值范圍是．      13分