Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
（Ⅰ）函數在區間上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（Ⅱ）當時，恒成立，求整數的最大值；
（Ⅲ）試證明：（）。

Answer 1

（Ⅰ）在區間上是減函數；（Ⅱ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
由 

解析試題分析：（Ⅰ）由題 …………（3分）
故在區間上是減函數        …………………（4分）
（Ⅱ）當時，在上恒成立，取，則，  ……………………（6分）
再取則   …………（7分）
故在上單調遞增，
而，……………（8分）
故在上存在唯一實數根，
故時，時，
故故  ……………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
又

 

即：  ………………（14分）
考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值，證明不等式。
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（III）通過構造函數，運用“放縮法”轉化成數列“裂項相消法”求和，達到證明不等式的目的。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。