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已知函數y=sinx+
3
cosx．
（1）求它的最小正周期和最大值；
（2）求它的遞增區間．
分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數的解析式為y=2sin(x+
π
3
)，由此可得它的周期及最大值．
（2）由-
π
2
+2kπ≤x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈z，求得x的范圍，可得該函數的遞增區間．
解答：解：（1）依題意可得y=sinx+
3
cosx=2(
1
2
sinx+
3
2
cosx)=2(sinxcos
π
3
+cosxsin
π
3
)=2sin(x+
π
3
)，
所以T=
2π
ω
=2π，最大值為2．
（2）由-
π
2
+2kπ≤x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，可得-
5π
6
+2kπ≤x≤
π
6
+2kπ，k∈z
所以，該函數的遞增區間為[-
5π
6
+2kπ，
π
6
+2kπ]，k∈z．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，復合三角函數的周期性和最大值，正弦函數的單調性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x求它的最大、最小值，并指明函數取最大、最小值時相應x的取值集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=sinx在點(
π
3
，
3
2
)的切線與y=log2x在點A處的切線平行，則點A的橫坐標是
2log2e．（注：填
2
ln2
也給分）
2log2e．（注：填
2
ln2
也給分）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=sinx+cosx，給出下列四個命題：
（1）若x∈[0，
π
2
]，則y∈(0，
2
]；
（2）直線x=-
3π
4
是函數y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸；
（3）在區間[
π
4
，
5π
4
]上函數y=sinx+cosx是減函數；
（4）函數y=sinx+cosx的圖象可由y=
2
sinx的圖象向右平移
π
4
個單位而得到．其中正確命題的序號是
（2）（3）
（2）（3）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=sinx+cosx，y=2
2
sinxcosx，則下列結論中，正確的序號是
③
③
．
①兩函數的圖象均關于點（-
π
4
，0）成中心對稱；
②兩函數的圖象均關于直線x=-
π
4
成軸對稱；
③兩函數在區間（-
π
4
，
π
4
）上都是單調增函數； 
④兩函數的最小正周期相同．

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