Question

（2004•朝陽區一模）已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且它的圖象關于直線x=1對稱．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）證明函數f（x）是以4為周期的周期函數；
（Ⅲ）若f（X）=x（0＜x≤1），求x∈[-1，3]時，函數f（x）的解析式，求x∈R時，函數f（x）的解析式，并畫出滿足條件的函數f（x）至少一個周期的圖象．

Answer 1

分析：（I）由函數f（x）是奇函數，所以f（-x）=-f（x），令x=0 可得f（0）=0．
（II）根據f（-x）=-f（x），再由函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（-x）=f（2+x），可得f（2+x）=-f（x），從而得到 f（4+x）=f（x），從而結論成立．
（III）由條件求出當-1≤x≤1時f（x）=x，當1＜x＜3時，則-1＜2-x＜1，可得f（2-x）=2-x，而函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．從而得到f（x）在一個周期內的解析式，從而得到f（x）在定義域內的解析式，從而畫出函數的圖象．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）．
令x=0，f（0）=-f（0），2f（0）=0，
∴f（0）=0．…（3分）
（Ⅱ）證：∵函數f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）…（1）
又f（x）關于直線x=1對稱，
∴f（1+x）=f（1-x）．
在（1）中的x換成x+1，即f（1+x）=-f（-1-x），
即f（1-x）=-f（-1-x）…（2）
在（2）中，將1-x換成x，即f（x）=-f（-2+x）…（3）
在（3）中，將x換成2+x，即f（2+x）=-f（x）…（4）
由（3）、（4）得：f（-2+x）=f（2+x）．
再將x-2換成x，得：f（x）=f（x+4）．
∴f（x）是以4為周期的周期函數．…（8分）
（Ⅲ）設-1≤x＜0時，則0＜-x≤1，所以f（-x）=-x．
又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x，又f（0）=0，
所以，當-1≤x≤1時，f（x）=x．
當1＜x＜3時，-3＜-x＜-1，則-1＜2-x＜1．
所以f（2-x）=2-x，而函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．
所以x∈[-1，3]時，函數f（x）的解析式為：f(x)=

x，-1≤x≤1 -x+2，1＜x≤3

再由f（x）是以4為一個周期的周期函數，
從而有x∈R時，函數f（x）的解析式為：f(x)=

x-4k，4k-1≤x≤4k+1 -x+2+4k，4k+1＜x＜4k+3

(k∈Z)，
函數f（x）一個周期的圖象如圖所示．…（13分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性和周期性的綜合應用，求函數解析式得方法，求出1＜x＜3時，函數解析式為f（x）=2-x，是解題的關鍵．