Question

已知函數f(x)=()^x，x∈[-1，1]，函數g(x)=f²(x)-2af(x)+3的最小值為h(a)。
（1）求h(a)；
（2）是否存在實數m，n，同時滿足以下條件：①m>n>3；②當h(a)的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]。若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）因為x∈[-1，1]，所以，
設，
則g(x)=φ(t)=t²-2at+3=(t-a)²+3-a²，
當a＜時，；
當≤a≤3時，h(a)=φ(a)=3-a²；
當a＞3時，h(a)=φ(3)=12-6a；
所以，。
（2）因為m＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)=12-6a，
因為h(a)的定義域為[n，m]，值域為[n²，m²]，且h(a)為減函數，
所以，兩式相減得6(m-n)=(m-n)(m+n)，
因為m＞n，所以m-n≠0，得m+n=6，
但這與“m＞n＞3”矛盾，故滿足條件的實數m，n不存在。