Question

定義雙曲正弦函數y=sin hx=

1

2

（e^x-e^-x），雙曲余弦函數y=cos hx=

1

2

（e^x+e^-x）．
（1）各寫出四條雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的性質．（定義域除外）
（2）給出雙曲正切函數、雙曲余切函數、雙曲正割函數和雙曲余割函數的定義式，探究并證明六者間的平方關系．
（3）模仿三角函數中兩角的和與差關系，探究并證明雙曲正弦函數、雙曲余弦函數和雙曲正切函數的“兩角”和與差關系．

Answer 1

分析：（1）由sin hx=

1

2

（e^x-e^-x） 是奇函數，單調遞增，無周期性，值域為R．同理寫出cos hx=

1

2

（e^x+e^-x）的性質．
（2）利用同角三角函數的基本關系可得雙曲正切函數、雙曲余切函數、雙曲正割函數和雙曲余割函數的定義式，計算求得 cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）利用兩角和差的三角公式，寫出sin h（x+y）、sin h（x-y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x-y ）的表達式．

解答：解：（1）sin hx=

1

2

（e^x-e^-x）  奇函數，單調遞增，無周期性，值域為R．
cos hx=

1

2

（e^x+e^-x） 偶函數，R上無單調，無周期性，值域為[1，+∞）．
（2）tan hx=

sinhx

coshx

；cot hx=

coshx

sinhx

；sec hx=

1

coshx

；csc hx=

1

sinhx

．
cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x-y）=sin h（x）•cos h（y）-cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x-y）=cos h（x）•cos h（y）-sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）=

tanh(x)+tanh(y)

1+tanh(x)•tanh(y)

；tan h（x-y）=

tanh(x)-tanh(y)

1-tanh(x)•tanh(y)

．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系、兩角和差的三角公式的應用，是一道基礎題．