Question

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．

（1）求證：PQ//平面BCE；
（2）求證：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

(1) 證明：見解析；（2）見解析；（3）.

解析試題分析：(1) 證明：連接AC,根據四邊形ABCD是矩形，Q是BD的中點，從而Q為AC的中點，又在中，P是AE的中點，得到PQ//EC，即得證.
（2）通過確定,及，得出四邊形是平行四邊形.
進一步得出S是直角三角形且. .
又由，及，得到.
（3）通過以A為坐標原點。以AM,AF,AD所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.
將問題轉化成空間向量的坐標運算問題，解答過程較為常規，注意確定平面的法向量，研究其夾角的余弦得解.應注意結合圖象，確定所求角余弦值的正負.
試題解析：(1) 證明：連接AC,因為四邊形ABCD是矩形，Q是BD的中點，所以，Q為AC的中點，又在中，P是AE的中點，所以PQ//EC，
因為.
（2）因為M是EF的中點，所以，,
又，所以，四邊形是平行四邊形.
所以，，
又所以，S是直角三角形且. .
又，所以，，由，
所以，.
（3）如圖，以A為坐標原點。以AM,AF,AD所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.

則A（0,0,0），D（0,0,1），M（2,0,0），F（0,2,0）
可得.
設平面DEF的法向量為，則.
故令，則，，所以，是平面DEF的一個法向量.
因為，，所以，S是平面的一個法向量.
所以，.
由圖可知，所求二面角是銳二面角，所以二面角A-DF-E的余弦值是.
考點：平行關系，垂直關系，二面角的計算，空間向量的應用.