Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0））的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f（c）=0，且0＜x＜c時，f（x）＞0
（1）證明：

1

a

是f（x）=0的一個根
（2）試比較

1

a

與c的大小
（3）證明：-2＜b＜-1．

Answer 1

分析：（1）由題意得c、

1

a

是方程f（x）=0的兩個根，
（2）欲比較

1

a

與c的大小，利用反證法去證明

1

a

＜c不可能，從而得到

1

a

＞c；
（3）由（1）（2）知，函數圖象與x軸的兩個交點為（c，0），（

1

a

，0），結合圖象得：對稱軸在x=c與x=

1

a

之間，從而得出結論．

解答：證明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個不同的交點，f（x）=0的兩個根x₁，x₂滿足 x1x2=

c

a

，
又f（c）=0，不妨設x₁=c∴x2=

1

a

，即

1

a

是f(x)=0的一個根．
（2）假設

1

a

＜c，又

1

a

＞0
由0＜x＜c時，f（x）＞0，得 f(

1

a

)＞0，與f(

1

a

)=0矛盾∴

1

a

≥c
∵f（x）=0的兩個根不相等
∴

1

a

≠c，只有

1

a

＞c
（3）由（1）（2）知，函數圖象與x軸的兩個交點為（c，0），（

1

a

，0），
∴對稱軸在x=c與x=

1

a

之間，即c＜-

b

2a

＜

1

a

，
即-2ac＞b＞-2，
從而：-2＜b＜-1．

點評：本題主要考查不等式的證明，有些不等式無法利用用題設的已知條件直接證明，我們可以間接的方法--反證法去證明，即通過否定原結論---導出矛盾---從而達到肯定原結論的目的．