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巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線，使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

⑴；⑵橢圓的焦距的取值范圍是.

解析試題分析：⑴，，再將點的坐標代入橢圓的方程，這樣便有三個方程，三者聯立，即可求出，從而得橢圓的方程.⑵顯然斜率不存在或斜率等于0時，不可能滿足題意.故可設直線l的方程為：，這樣可將點C(2,0)關于直線l的對稱點的坐標用表示出來，然后代入橢圓的方程，從而得一關于的方程：.設，因此原問題轉化為關于t的方程有正根.根據二次方程根的分布可得.進而求得橢圓的焦距的取值范圍.

試題解析：⑴,
∵點P(2,1)在橢圓上,∴     5分
⑵依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：.
設點C(2,0)關于直線l的對稱點為，則

若點在橢圓上，則

設，因此原問題轉化為關于t的方程有正根.
①當時，方程一定有正根；
②當時，則有
∴綜上得.
又橢圓的焦距為.
故橢圓的焦距的取值范圍是(0,4]         14分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、．設直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；
（3）若圓的面積為，求圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準線與x軸交于點M，過點M作圓的兩條切線，切點為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為,離心率，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設是直線上的不同兩點，若,求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知平面上的動點P（x，y）及兩個定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K1，K2且K1K2=－
(1).求動點P的軌跡C方程；
(2).設直線L：y=kx+m與曲線C交于不同兩點，M，N，當OM⊥ON時，求O點到直線L的距離（O為坐標原點）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知點為橢圓右焦點，圓與橢圓的一個公共點為，且直線與圓相切于點.

（1）求的值及橢圓的標準方程；
（2）設動點滿足，其中M、N是橢圓上的點，為原點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.
（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過正半軸上點的直線與該拋物線交于兩點,為拋物線上異于的任意一點,記連線的斜率為試求滿足成等差數列的充要條件．

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