Question

已知：數列是由正數組成的等差數列，是其前項的和，并且，.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求不等式對一切均成立最大實數；

（Ⅲ）對每一個，在與之間插入個，得到新數列，設是數列的前項和，試問是否存在正整數，使？若存在求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

2008

解析:

(Ⅰ)設的公差為，由題意，且，      2分

，數列的通項公式為   。                     3分

(Ⅱ)由題意對均成立，     4分

記

則。

，隨增大而增大，        6分

的最小值為，

，即的最大值為。      8分

(Ⅲ)，

在數列中，及其前面所有項之和為

，             10分

，即， 12分

又在數列中的項數為： ，                 13分

且，

所以存在正整數使得。      14分

(第（Ⅱ）用數學歸納法證明：∵n∈N，

∴只需證明成立。

（i）當n=1時，左=2，右=2，∴不等式成立。

（ii）假設當n=k時不等式成立，即

。

那么當n=k+1時，

，

以下只需證明。

即只需證明。∵。

∴。

綜合（i）（ii）知，不等式對于n∈N都成立。