Question

已知函數f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函數.其中ω>0,0≤φ≤π,其圖象關于點M(,0)對稱,且在區間[0,]上是單調函數,求φ和ω的值.

 

Answer 1

ω=或ω=2

【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ

=sin(ωx+φ),

∵f(x)是偶函數,∴φ=kπ+,k∈Z.

又∵0≤φ≤π,∴φ=.

∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.

又f(x)關于(,0)對稱,

故ω=kπ+,k∈Z.

即ω=+,k∈Z.

又ω>0,故k=0,1,2,…

當k=0時,ω=,f(x)=cosx在[0,]上是減函數.

當k=1時,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是減函數.

當k=2時,ω=,f(x)=cosx在[0,]上不是單調函數,

當k>2時,同理可得f(x)在[0,]上不是單調函數,

綜上,ω=或ω=2.