Question

已知函數f(x)=(a-1)x2+

a+1

x

-(a+1)x(a∈R)．
（Ⅰ）討論f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）當f（x）為奇函數時，判斷f（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意需要考慮①當a=1時，②當a=-1時，③當a≠±1③a≠±1三種情況，先考慮函數的定義域是否關于原點對稱，然后檢驗f（-x）與f（x）的關系即可判斷
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）為奇函數時，a=1，此時f(x)=

2

x

-2x，利用定義：設任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，然后判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可

解答：解：（Ⅰ）①當a=1時，f(x)=

2

x

-2x，其定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱．
又f(-x)=

2

-x

-2(-x)=-(

2

x

-2x)=-f(x)
∴f（x）為奇函數
②當a=-1時，f（x）=-2x²，其定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱．
又f（-x）=-2（-x）²=-2x²=f（x）
∴f（x）為偶函數
③當a≠±1時f(2)=

5

2

a-

11

2

f(-2)=

11

2

a-

5

2

又a≠±1
∴f（-2）≠±f（2）
∴f（x）既不是奇函數也不是偶函數
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）為奇函數時，a=1
此時f(x)=

2

x

-2x在區間（0，+∞）上是減函數
設任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2) =2[( 1 x1 -x1)-( 1 x2 -x2)] =2[( x2-x1 x1x2 )+(x2-x1)] =2[(x2-x1)( x1x2+1 x1x2 )]

又x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴

x1x2+1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．

點評：本題 主要考查了函數的奇偶性及函數的單調性的判斷，體現了分類討論思想的應用．