Question

已知函數有三個極值點。
（I）證明：；
（II）若存在實數c，使函數在區間上單調遞減，求的取值范圍。

Answer 1

(1)利用導數的符號判定函數單調性，以及桉樹的極值，進而證明。
(2) 當時，所以且
即故或反之, 當或時，
總可找到使函數在區間上單調遞減.

試題分析：解：（I）因為函數有三個極值點,
所以有三個互異的實根.  
設則
當時， 在上為增函數;
當時， 在上為減函數;
當時， 在上為增函數;
所以函數在時取極大值,在時取極小值.  （3分）
當或時,最多只有兩個不同實根.
因為有三個不同實根, 所以且.
即,且,
解得且故.                 （5分）
（II）由（I）的證明可知，當時, 有三個極值點.
不妨設為（），則
所以的單調遞減區間是,
若在區間上單調遞減，
則, 或,
若,則.由（I）知，,于是
若,則且.由（I）知，
又當時，;
因此, 當時，所以且
即故或反之, 當或時，
總可找到使函數在區間上單調遞減.             （10分）
點評：解決的關鍵是利用導數的符號判定函數的單調性，以及函數的極值，屬于基礎題。