Question

已知離心率為的橢圓過點，是坐標原點.
(1)求橢圓的方程；                                               
(2)已知點為橢圓上相異兩點，且，判定直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

（1） （2）直線與圓相切

(1)由，解得：
故橢圓的方程為     
(2)設，直線的方程為： 
由，得：
則，即
由韋達定理得：
則
由得：，
即
化簡得：
因為圓心到直線的距離，

而，，即
此時直線與圓相切
當直線的斜率不存在時，
由可以計算得的坐標為或
此時直線的方程為
滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線與圓相切
綜上，直線與圓相切