Question

設向量，定義一種向量積．
已知向量，，點為的圖象上的動點，點
為的圖象上的動點，且滿足（其中為坐標原點）．
（1）請用表示；
（2）求的表達式并求它的周期；
（3）把函數圖象上各點的橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.設函數，試討論函數在區間內的零點個數.

Answer 1

（1）；（2）參考解析；（3）參考解析

解析試題分析：（1）由向量，定義一種向量積，所以，，所以根據新定義運算關系可得到的結果. 點為的圖象上的動點，所以可以將用表示即可得結論.
（2）由（1）以及又可得.又點為的圖象上的動點，所以可求得函數的表達式并求它的周期.
（3）由（2）以及把函數圖象上各點的橫坐標縮小為原來的倍，即可得到函數的解析式，以及函數在遞增，分類討論即可得到結論.
（1），                         2分
（2），
所以，        4分
因此即                               6分
所以，它的周期為．                     8分
（3）在上單調遞增，在上單調遞減，
又，                                 10分
函數在區間內只有一個零點；
函數在區間內有兩個零點；
當或時，函數在區間內沒有零點．             12分
考點：1.三角函數的性質.2.向量的數量積.3.新定義問題.