Question

已知函數,點為一定點,直線分別與函數的圖象和軸交于點,,記的面積為.
（1）當時,求函數的單調區間；
（2）當時, 若,使得, 求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的單調遞增區間為的單調遞增區間為；
（2）.

試題分析：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想、化歸與轉化思想.第一問，數形結合得到的表達式，將代入，因為中有絕對值，所以分和進行討論，去掉絕對值，對求導判斷函數的單調性；第二問，先由和的范圍去掉中的絕對值符號，然后對原已知進行轉化，轉化為，所以下面求是關鍵，對求導，令解出方程的根，但是得通過的范圍判斷根在不在的范圍內，所以進行討論，分別求導數判斷函數的單調性，確定最值的位置.
試題解析：(I) 因為，其中                  2分
當，，其中
當時，，，
所以，所以在上遞增，      4分
當時，，，
令， 解得，所以在上遞增
令， 解得，所以在上遞減  7分
綜上，的單調遞增區間為，，的單調遞增區間為.
（II）因為，其中
當，時，
因為，使得，所以在上的最大值一定大于等于
，令，得         8分
當時，即時
對成立，單調遞增
所以當時，取得最大值
令 ，解得，
所以                          10分
當時，即時
對成立，單調遞增
對成立，單調遞減
所以當時，取得最大值
令  ，解得
所以                            …12分
綜上所述，.                   13分