Question

設函數，．
（1）當時，函數取得極值，求的值；
（2）當時，求函數在區間[1，2]上的最大值；
（3）當時，關于的方程有唯一實數解，求實數的值．

Answer 1

（1）；（2）時，取最大值；（3）．

試題分析：（1）先求出，因為當時，函數取得極值，所以，從而求出；（2）根據判斷函數在區間[1，2]上的單調性，從而判斷出最大值點，求出最大值；（3）由題意可知，方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，設，則函數圖像與軸有且只有一個交點，根據導數判斷函數的單調性，可知函數存在極小值即為最小值，最小值為，從中求出．
試題解析：
（1）的定義域為，所以．因為當時，函數取得極值，所以，所以．經檢驗，符合題意．
（2），令得，
因為，所以，即在[1，2]上單調遞增，
所以時，取最大值．
（3）因為方程有唯一實數解，
所以有唯一實數解，
設，則，
令，因為，，
所以（舍去），，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
所以當時，取最小值，則  即，
所以，因為，所以（*），設函數，
因為當時，是增函數，所以至多有一解．
因為，所以方程（*）的解為，
即，解得．