Question

已知在處取得極值。
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）是否存在實數，使得對任意？若存在，求的所有值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在唯一的實數a＝符合題意.

試題分析：（Ⅰ）由已知條件得f¢(x₀)=0得到關于x₀的關系式，再求出f(x₀)；（Ⅱ）將原不等式轉化為x²(lnx－a)＋a≥0，考察關于x的函數g(x)＝x²(lnx－a)＋a的單調性，求出最小值g＝a－e^2a－1，再研究關于a的函數h(a)＝a－e^2a－1，當a取哪些值時h(a)≥0．
試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝．
依題意，lnx₀＋x₀＋1＝0，則lnx₀＝－(x₀＋1)．
f(x₀)＝＝＝－x₀.
（Ⅱ）f(x)≥等價于x²(lnx－a)＋a≥0．
設g(x)＝x²(lnx－a)＋a，則g¢(x)＝x(2lnx－2a＋1)．
令g¢(x)＝0，得x＝．
當x∈時，g¢(x)＜0，g(x)單調遞減；
當x∈時，g¢(x)＞0，g(x)單調遞增．
所以g(x)≥g＝a－e^2a－1．
于是f(x)≥恒成立只需a－e^2a－1≥0．   
設h(a)＝a－e^2a－1，則h＝0，
且h¢(a)＝1－e^2a－1，h¢＝0．
當a∈（0，）時，h¢(a)＞0，h(a)單調遞增，h(a)＜h＝0；
當a∈（，＋∞）時，h¢(a)＜0，g(x)單調遞減，h(a)＜h＝0．
因此，a－e^2a－1≤0，當且僅當a＝時取等號．
綜上，存在唯一的實數a＝，使得對任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥．