Question

若函數f（x）同時具有以下兩個性質：①f（x）是偶函數；②對任意實數x，都有f（-x+

π

4

）=f（x+

π

4

），則下列函數中，符合上述條件的有

 

．（填序號）
①f（x）=cos4x；
②f（x）=sin（2x+

π

2

）；
③f（x）=sin（4x+

π

2

）；
④f（x）=cos（

3π

2

-4x）．

Answer 1

分析：根據條件先判斷函數的一條對稱軸是x=

π

4

，再利用誘導公式對選項中解析式進行化簡，根據正弦（余弦）函數的奇偶性和對稱軸方程進行逐一判斷．

解答：解：由題意知，函數的一條對稱軸是x=

π

4

，
①、f（x）=cos4x是偶函數，把x=

π

4

代入得，4x=π，則x=

π

4

是函數的對稱軸，故①符合條件；
②、f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x是偶函數，把x=

π

4

代入得，2x=

π

2

，則x=

π

4

不是函數的對稱軸，故②不符合題意；
③、f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x，同①分析，故③符合題意；
④、f（x）=cos（

3π

2

-4x）=-sin4x是奇函數，故④不符合題意．
故答案為：①③．

點評：本題考查了正弦（余弦）函數的奇偶性和對稱性的應用，需要先通過誘導公式進行化簡，考查了分析問題和解決問題的能力．