（09年朝陽區二模理）（14分）
如圖，四棱錐
的底面是矩形，
底面
，
為
邊的中點，
與平面所成的角為
，且
，
.
(Ⅰ)求證：
平面
；
(Ⅱ)求點
到平面
的距離；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
解析： 證明：（Ⅰ）因為
底面
，
所以
是
與平面所成的角.
由已知
， 所以
.
易求得，
，又因為
，
所以
， 所以
.
因為底面，
平面,
所以
. 由于
，
所以
平面
. ………………………4分
解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因為平面
,
所以平面
平面，
過
作
于
，（如圖）則平面，
所以線段的長度為點到平面的距離.
在
中，易求得
, 所以
.
所以點到平面的距離為
. ………………………9分
（Ⅲ）設
為
中點. 連結
，由于底面，
且
平面
，則平面平面.
因為
，所以平面.
過作
，垂足為
，連結
，
由三垂線定理可知
，
所以
是二面角
的平面角.
容易證明
∽
，則
，
因為
，
，
，
所以
.
在
中，因為
，所以
，
所以二面角的大小為
. ………………………14分
解法二:
因為底面，
所以是與平面所成的角.
由已知，
所以.
建立空間直角坐標系（如圖）.
由已知，
為
中點.
于是
、
、
、
、
.
（Ⅰ）易求得
，
， 
.
因為
, 
,
所以，
.
因為
，所以平面. ………………………4分
（Ⅱ）設平面的法向量為
，
由
得
解得
，
所以
. 又因為
,
所以點到平面的距離
. …………………9分
（Ⅲ）因為
平面，所以
是平面的法向量， 易得
.
由（Ⅱ）知平面的法向量，
所以
.
所以二面角的大小為
. ………………………14分
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（09年朝陽區二模理）（14分）
已知函數
．
(Ⅰ)求函數
的最小值；
(Ⅱ)求證：
；
(Ⅲ)對于函數
與
定義域上的任意實數
，若存在常數
，使得
和
都成立，則稱直線
為函數與的“分界線”.設函數
，
，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（09年朝陽區二模理）（13分）
在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有
，且
個，其余的球為紅球．
(Ⅰ)若
，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；
(Ⅱ)從袋里任意取出2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是
，求紅球的個數；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，從袋里任意取出2個球．若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分．用ξ表示取出的2個球所得分數的和，寫出
的分布列，并求的數學期望
．
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的最小正周期為
.
的值；
中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊.若
,求
的值.
，點
是圓
上任意一點，則
面積的最小值是 （ ）
D．4