Question

（文）如圖所示：已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點，A為右頂點，過F₁的直線l與橢圓相交于P、Q兩點，且有

1

|PF1|

+

1

|QF|

=2．
（1）求橢圓長半軸長a的取值范圍；
（2）若

AP

•

AQ

=a2且a∈(

4

3

，

9

5

)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分類討論：若直線l與x軸垂直，容易得到

1

|PF1|

+

1

|QF1|

=

2a

b2

；若直線l與x軸不垂直，則如圖分別過點P、Q，作左準線的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，利用△PF₁F∽△PQS得出比例式，從而有：

2a

b2

=2⇒a=b2，所以a²＞a＞0，得到a的取值范圍；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-c代入橢圓方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積公式即可求得m與a的關(guān)系式，再利用m² 的范圍，從而求直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（文）（1）若直線l與x軸垂直，容易得到

1

|PF1|

+

1

|QF1|

=

2a

b2

若直線l與x軸不垂直，則如圖分別過點P、Q
作左準線的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，
得到：|PP1|=

a|F1P|

c

，QQ1=

a|F1Q|

c

，
∵△PF₁F∽△PQS
∴

b2 c - a|PF1| c

a|QF1| c - a|PF1| c

=

|PF1|

|PF1|+|QF1|

⇒b2(|PF1|+|QF1|)-a|PF1|2-a|PF1|•|QF1|=a|PF₁|•|QF₁|-a|PF₁|²
所以

1

|PF1|

+

1

|QF1|

=

2a

b2

…（4分）
從而有：

2a

b2

=2⇒a=b2，所以a²＞a＞0得到：a＞1；  …（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-c代入橢圓方程得到：（a²+b²m²）y²-2b²cmy-b⁴=0，
設(shè)，則有：y1+y2=

2b2m

a2+b2m2

，y1y2=

-4

a2+b2m2

，
所以x1+x2=m(y1+y2)-2c=

-2a2c

a2+b2m2

，
x1•x2=(my1-c)•(my2-c)=m2y1y2-mc(y1+y2)+c2=

a2(-b2m2+c2)

a2+b2m2

，…（9分）
得到

AP

•

AQ

=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2
=

a2(a+c)2

a2+b2m2

-

b4

a2+b2m2

=a2⇒

a2(a+c)2-a2

a2+b2m2

=a2
⇒m2=

2ac+c2-1

a

=2

a2-a

+a-1-

1

a

，…（12分）
當a∈(

4

3

，

9

5

)時，m²隨著a增大而增大，所以

11

12

＜m2＜

119

45

，
所以斜率k滿足：

45

119

＜k2＜

12

11

，
所以斜率的取值范圍是 [-

2 33

11

，-

3 595

119

]∪[

3 595

119

，

2 33

11

]…（14分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、橢圓的簡單性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．