Question

（文）如圖所示：已知橢圓C：，F₁、F₂為其左、右焦點，A為右頂點，過F₁的直線l與橢圓相交于P、Q兩點，且有．
（1）求橢圓長半軸長a的取值范圍；
（2）若，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（文）（1）若直線l與x軸垂直，容易得到
若直線l與x軸不垂直，則如圖分別過點P、Q
作左準線的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，
得到：，
∵△PF₁F∽△PQS
∴=a|PF₁|•|QF₁|-a|PF₁|²
所以…（4分）
從而有：，所以a²＞a＞0得到：a＞1； …（6分）
（2）設直線l的方程為x=my-c代入橢圓方程得到：（a²+b²m²）y²-2b²cmy-b⁴=0，
設，則有：，
所以，
，…（9分）
得到
=
，…（12分）
當時，m²隨著a增大而增大，所以，
所以斜率k滿足：，
所以斜率的取值范圍是 …（14分）
分析：（1）分類討論：若直線l與x軸垂直，容易得到；若直線l與x軸不垂直，則如圖分別過點P、Q，作左準線的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，利用△PF₁F∽△PQS得出比例式，從而有：，所以a²＞a＞0，得到a的取值范圍；
（2）設直線l的方程為x=my-c代入橢圓方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量數量積公式即可求得m與a的關系式，再利用m² 的范圍，從而求直線l的斜率的取值范圍．
點評：本小題主要考查直線的斜率、橢圓的簡單性質、平面向量數量積的運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．