Question

若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點。已知是實數，1和是函數的兩個極值點．
（1）求和的值；
（2）設函數的導函數，求的極值點；
（3）設，其中，求函數的零點個數．

Answer 1

（1）
（2）的極值點是－2
（3）當時，函數有5 個零點；當時，函數有9 個零點。

（1）求出的導數，根據1和是函數的兩個極值點代入列方程組求解即可。
（2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。
（3）比較復雜，先分和討論關于 的方程 根的情況；再考慮函數的零點
解：（1）由，得。
∵1和是函數的兩個極值點，
∴ ，，解得。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴，解得。
∵當時，；當時，，
∴是的極值點。
∵當或時，，∴ 不是的極值點。
∴的極值點是－2。
（3）令，則。
先討論關于 的方程 根的情況：
當時，由（2 ）可知，的兩個不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數，∴的兩個不同的根為一和2。
當時，∵， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。
由（1）知。
① 當時， ，于是是單調增函數，從而。
此時在無實根。
② 當時．，于是是單調增函數。
又∵，，的圖象不間斷，
∴ 在（1 , 2 ）內有唯一實根。
同理，在（一2 ，一I ）內有唯一實根。
③ 當時，，于是是單調減兩數。
又∵， ，的圖象不間斷，
∴在（一1，1 ）內有唯一實根。
因此，當時，有兩個不同的根滿足；當 時
有三個不同的根，滿足。
現考慮函數的零點：
( i ）當時，有兩個根，滿足。
而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點。
( 11 ）當時，有三個不同的根，滿足。
而有三個不同的根，故有9 個零點。
綜上所述，當時，函數有5 個零點；當時，函數有9 個零點
【考點定位】本題綜合考查導數的定義、計算及其在求解函數極值和最值中的應用，考查較全面系統，要注意變形的等價性和函數零點的認識、極值和極值點的理解。本題主要考查數形結合思想和分類討論思想，屬于中高檔試題，難度中等偏上，考查知識比較綜合，全方位考查分析問題和解決問題的能力，運算量比較大。