Question

已知數(shù)列滿足對任意的，都有，
且．
（1）求，的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對任意的正整數(shù) 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）解：當(dāng)時(shí)，有，
由于，所以．
當(dāng)時(shí)，有，
將代入上式，由于，所以．
（2）解：由于，                    ①
則有．              ②
②－①，得，
由于，所以．                   ③
同樣有，                        ④
③－④，得．
所以．
由于，即當(dāng)時(shí)都有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
故．
（3）解：由（2）知，則．
所以

．
∵，∴數(shù)列單調(diào)遞增．
所以．
要使不等式對任意正整數(shù)恒成立，只要．
∵，∴．
∴，即．
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．