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設直線y=ax+b與雙曲線3x2-y2=1交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點P（a，b）的軌跡方程．
由
y=ax+b
3x2-y2=1
，
消去y得：（a2-3）x2+2abx+b2+1=0．
∵直線與雙曲線交于A、B兩點，
∴
a2-3≠0
△＞0
，解得a2＜3．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=
2ab
3-a2
，x1•x2=
b2+1
a2-3
．
∴y1•y2=（ax1+b）（ax2+b）=a2x1x2+ab（x1+x2）+b2，
又∵以AB為直徑的圓過原點，
∴
OA
⊥
OB
，得x1x2+y1y2=0，
由此可得x1x2+[a2x1x2+ab（x1+x2）+b2]=0，
即（1+a2）x1x2+ab（x1+x2）+b2=0，
可得：（1+a2）•
b2+1
a2-3
-ab•
2ab
3-a2
+b2=0，化簡得：a2-2b2=-1．
因此，點P（a，b）的軌跡方程為x2-2y2=-1，即2y2-x2=1（x2＜3）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（1）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-
1
3
．求動點P的軌跡方程．
（2）
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率為2，原點到直線AB的距離為
3
2
，其中A（0，-b）、B（a，0）求該雙曲線的標準方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若M、N為兩個定點且|MN|=6，動點P滿足
PM
•
PN
=0，則P點的軌跡是（　　）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

平面上動點P到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M（4，0）的直線與點P的軌跡交于A，B兩點，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知定點A（1，0），定圓C：（x+1）2+y2=8，M為圓C上的一個動點，點P在線段AM上，點N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，則點N的軌跡方程是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在平面斜坐標系xoy中∠xoy=45°，點P的斜坐標定義為：“若
OP
=x0
e1
+y0
e2
（其中，
e1
，
e2
分別為與斜坐標系的x軸，y軸同方向的單位向量），則點P的坐標為（x0，y0）”．若F1（-1，0），F2（1，0）且動點M（x，y）滿足|
MF1
|=|
MF2
|，則點M在斜坐標系中的軌跡方程為（　　）
A．x=0B．y=0C．
2
x+y=0		D．
2
x-y=0

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

一動圓和直線l：x=-
1
2
相切，并且經過點F(
1
2
，0)，
（Ⅰ）求動圓的圓心θ的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點P（2，0）且斜率為k的直線交曲線C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點．
求證：OM⊥ON．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知O是坐標原點，點A（2，0），△AOC的頂點C在曲線y2=4（x-1）上，那么△AOC的重心G的軌跡方程是（　　）
A．3y2=4（x-1）B．3y2=4（x-1）（y≠0）
C．
y2
3
=4（x-1）		D．
y2
3
=4（x-1）（y≠0）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的弦的中點為，則弦所在直線的方程是           .

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