Question

（2012•房山區一模）已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）設a=

10

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B，C分別為三角形的內角，及cosA與cosB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA和sinB的值，然后利用兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（A+B），將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由cos（A+B）的值，利用特殊角的三角函數值求出A+B的度數，進而求出C的度數，得出sinC的值，再由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的長，由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：（本小題共13分）
解：（Ⅰ）∵A，B，C為△ABC的內角，且cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，sinB=

1-cos2B

=

10

10

，…（4分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

；…（7分）
（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°，
∴C=135°，即sinC=

2

2

，…（8分）
又a=

10

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

10 × 10 10

5 5

=

5

，…（11分）
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

10

×

5

×

2

2

=

5

2

．…（13分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的余弦函數公式，正弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．