Question

若無窮等差數列{a_n}中，a₁=1，公差為d，前n項和為S_n，其中

S2n

Sn

=c（c為常數）
（1）求d的值；
（2）若d＞0，數列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=

2an

，若對于任意的正整數n總有

TnTn+2

Tn+12

≥m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的前n和公式把已知條件整理可得可得整理可得

4+(4n-2)d

2+(n-1)d

= C，根據等式與n無關的常數可求d的值
（2）若d＞0，由（1）可得d=2，a₁=1，先求a_n=1+（n-1）×2=2n-1，代入求b_n，T_n
∴

TnTn+2

Tn+12

=

(2n-1)(2n+2-1)

(2n+1- 1)2

=

4•(2n)2-5•2n+1

4 •(2n)2-4•2n+1

=1-

2n

(2•2n-1)2

①
總有

TnTn+2

Tn+12

≥m恒成立，轉化為求①的最小值，使得m≤①式的最小值即可

解答：解：（1）根據等差數列的前n和公式可得，

S2n

Sn

=

2n+ 2n(2n-1) 2 d

n+ n(n-1) 2 d

=C
 整理可得

4+(4n-2)d

2+(n-1)d

= C
當d=0時符合題意
當d≠0時，進一步整理可得（ 4-C）dn=2C-Cd-4+2d與n無關，可得C=4，d=2
d=0，或d=2
（2）（2）若d＞0，由（1）可得d=2，a₁=1，由等差數列的通項公式可得a_n=1+（n-1）×2=2n-1
∴bn=

22n-1

=

2

2n-1是以

2

為首項，以2為公比的等比數列
Tn=

2 (1-2n)

1-2

=

2

(2n-1)
∴

TnTn+2

Tn+12

=

(2n-1)(2n+2-1)

(2n+1- 1)2

=

4•(2n)2-5•2n+1

4 •(2n)2-4•2n+1

=1-

2n

(2•2n-1)2

當n=1時式子有最小值

7

9

總有

TnTn+2

Tn+12

≥m恒成立，則m≤

7

9

m≤

7

9

點評：本題綜合考查了等差數列的求和公式、等差及等比數列的通項公式的求解、等比數列的求和公式、不等式的恒成立問題，轉化思想在解題中的應用．