Question

若函數f（x）=x³-ax²（a＞0）在區間(

20

3

，+∞)上是單調遞增函數，則使方程f（x）=1000有整數解的實數a的個數是

 

．

Answer 1

分析：先對函數求導，利用函數在區間(

20

3

，+∞)上是單調遞增函數的條件得出參數的取值范圍，再根據函數圖象的特征判斷出方程f（x）=1000的解存在的范圍，采用分離常數法將f（x）=1000變為a=x-

1000

x2

，構造一個新的函數g（x）=x-

1000

x2

，研究其圖象特征即可．

解答：解：對f（x）求導得f'（x）=3x²-2ax
令f'（x）≥0以求原函數的單調增區間得3x²-2ax≥0，解得x≤0或x≥

2

3

a．
令f'（x）≤0以求原函數的單調減區間得3x²-2ax≤0，解得0≤x≤

2

3

a．
由題意知，區間（

20

3

，+∞）處于增區間，故

2

3

a≤

20

3

，結合已知條件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
結合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x³-ax²=1000，變形得a=x-

1000

x2

，
記g（x）=x-

1000

x2

，因為0＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
觀察知，g（x）在x＞0上是增函數（求導也可得出），
經試算，有g（10）=0，g（14）=8+

44

49

，g（15）=10+

5

9

，可見0＜g（x）≤10的解在區間（10，15）上，所以x的整數解只可能是11、12、13、14共4個，
而a=g（x），g（x）為增函數，所以相應地，a值也只有4個
故答案為4

點評：本題考點是函數的單調性與導數的關系，考查了函數的單調性與導數的對應，以及方程有整數解時利用二分法的思想確定方程解的范圍，本題的技巧性較強，有一定的難度．