Question

如圖所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．

因為cos〈，〉＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.

(2)設平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，

因為＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，

取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一個法向量．

取平面AA1B的一個法向量為n2＝(0，1，0)，

設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.

由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.

因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.