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已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，
c
=(1，0)．
（1）若
a
•
b
=
2
3
，記α-β=θ，求sin2θ-sin(
π
2
+θ)的值；
（2）若α≠
kπ
2
，β≠kπ（k∈Z），且
a
∥(
b
+
c
)，求證：tanα=tan
β
2
．
分析：（1）由
a
•
b
=
2
3
求得cosθ=
2
3
，把要求的式子化為1-cos2θ-cosθ，把cosθ=
2
3
代入運算求得結果．
（2）由
a
∥(
b
+
c
)，可得cosαsinβ-（1+cosβ）sinα=0，推出 tanα=
sinβ
1+cosβ
，再利用二倍角公式化簡即得所證．
解答：（1）∵
a
•
b
= cosαcosβ+sinαsinβ= cos(α-β)=
2
3
，∴cosθ=
2
3
．…（3分）
∴sin2θ-sin(
π
2
+θ)=1-cos2θ-cosθ=-
1
9
．…（7分）
（2）∵
b
+
c
=(1+cosβ，sinβ)，
a
∥(
b
+
c
)，
∴cosαsinβ-（1+cosβ）sinα=0．…（9分）
又∵α≠
kπ
2
，β≠kπ（k∈Z），∴tanα=
sinβ
1+cosβ
…（12分）
=
2sin
β
2
cos
β
2
2cos_
β
2
=tan
β
2
．…（14分）
點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量共線的性質，式子的變形是解題的關鍵和難點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
.
b
與
a
-k
.
b
的長度相等，求α-β的值（k為非零的常數）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•靜安區一模）（文）已知
a
=(cosα，3sinα)，
b
=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜
π
2
)是平面上的兩個向量．
（1）試用α、β表示
a
•
b
；
（2）若
a
•
b
=
36
13
，且cosβ=
4
5
，求α的值（結果用反三角函數值表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cosα，sinα)，則下列說法不正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=
cosωx，sinωx
，
b
=
cosωx+
3
sinωx，
3
cosωx-sinωx
（ω＞0），函數f(x)=
a
•
b
的最小正周期為π
（1）求函數f（x）的單調遞減區間及對稱中心；
（2）求函數f（x）在區間
π
4
，
π
2
上的最大值與最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•朝陽區一模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（III）設|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

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